题目 1
$$ \begin{cases} \min &f(\mathbf{x})=(x_1-\frac{9}{4})^2+(x_2-2)^2 \\ s.t.&x_2-x_1^2\ge0, \\ &x_1+x_2\le6, \\ &x_1,x_2\ge0 \end{cases} $$验证 $\mathbf{x}^*=(1.5,2.25)^T$ 是 K-T 点。
解答
$$ \begin{cases} g_1(\mathbf{x})=x_1^2-x_2 \\ g_2(\mathbf{x})=x_1+x_2-6 \\ g_3(\mathbf{x})=-x_1 \\ g_4(\mathbf{x})=-x_2 \end{cases} $$显然仅有 $g_1(\mathbf{x}^*)=0$，$I=\{1\}$，计算梯度
$$ \begin{aligned} &\nabla f(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}2x_1-\frac{9}{2} \\ 2x_2-4\end{bmatrix}^T \\ &\nabla g_1(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}2x_1 \\ -1\end{bmatrix}^T \end{aligned} $$将 $\mathbf{x}^*$ 代入得
$$ \begin{cases} -\frac{3}{2}+3u_1=0 \\ \frac{1}{2}-u_1=0 \end{cases} $$解得 $u_1=\frac{1}{2}\ge0$，故 $\mathbf{x}^*=(1.5,2.25)^T$ 是 K-T 点。
题目 2
通过 K-T 条件求解下列问题
$$ \begin{cases} \min &f(\mathbf{x})=-3x_1+x_2-x_3^2 \\ s.t.&x_1+x_2+x_3\le0, \\ &-x_1+2x_2+x_3^2=0 \end{cases} $$解答
计算梯度
$$ \nabla f(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}-3 \\ 1 \\ -2x_3\end{bmatrix}^T $$海塞矩阵
$$ \nabla^2f(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{bmatrix} $$不是正定矩阵或半正定矩阵，因此该问题不是凸优化，可以观察到，若令
$$ x_1=0,x_2=- \frac{1}{2}x_3^2 $$显然有 $f(\mathbf{x})$ 无界，不存在最优解。