大学物理 B 期末复习知识点

热学

理想气体物态方程

$$ pV=NkT \\ pV=\nu RT $$

其中 $N$ 为气体分子数，$\nu$ 为气体物质的量。

理想气体压强公式

分子平均平动动能

$$ \overline{\varepsilon}_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT $$

其中 $m$ 为单个分子的质量。

理想气体压强公式

$$ p=\frac{1}{3}nm\overline{v^2}=\frac{2}{3}n\overline{\varepsilon}_{\mathrm{k}} $$

其中 $n$ 为单位体积内的分子数。

理想气体内能

物质的量为 $\nu$ 的理想气体的内能为

$$ E=\frac{i}{2}\nu RT=\frac{i}{2}pV $$

其中 $i$ 为分子自由度。

分子类型	单原子分子	双原子分子		三原子分子
分子类型	单原子分子	刚性	非刚性	刚性	非刚性
分子自由度 $i$	3	5	7	6	12

麦克斯韦气体分子速率分布律

最概然速率 $v_p$

$$ \left.\frac{\mathrm{d}f(v)}{\mathrm{d}v}\right|_{v=v_p}=0 $$$$ v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}} $$

其中 $M$ 为气体的摩尔质量。

平均速率 $\overline{v}$

$$ \overline{v}=\int_0^{+\infty}vf(v)\ \mathrm{d}v $$$$ \overline{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} $$

方均根速率 $v_{rms}$

$$ \overline{v^2}=\int_0^{+\infty}v^2f(v)\ \mathrm{d}v $$$$ v_{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} $$

重力场中气体分子数密度公式

$$ n=n_0e^{-\frac{m\mathrm{g}z}{kT}} $$

重力场中的等温气压公式

$$ p=p_0e^{-\frac{m\mathrm{g}z}{kT}} $$

分子的平均碰撞频率和平均自由程

$$ \overline{\lambda}=\frac{\overline{v}}{\overline{Z}} $$$$ \overline{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\overline{v}n $$

其中 $d$ 为分子直径，也称分子的有效直径。

$$ \overline{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2p} $$

热力学第一定律

$$ Q=W+\Delta E $$

摩尔热容

摩尔定容热容

$$ C_{V,\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{d}Q_{V,\mathrm{m}}}{\mathrm{d}T} $$

理论值 $\frac{i}{2}R$

摩尔定压热容

$$ C_{p,\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{d}Q_{p,\mathrm{m}}}{\mathrm{d}T} $$

理论值 $\frac{i+2}{2}R$

绝热系数（热容比）

$$ \gamma=\frac{C_{p,\mathrm{m}}}{C_{V,\mathrm{m}}} $$

理论值 $\frac{i+2}{i}$

固体热容

物质的量为 $\nu$ 的理想晶体的内能为

$$ E=3\nu RT $$

理想晶体摩尔热容

$$ C_{\mathrm{m}}=\frac{E_m}{T}=3R $$

热容

$$ C=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} $$

比热容

$$ c=\frac{C}{m'} $$

其中 $m'$ 是固体质量。

理想气体的绝热过程

$$ pV^{\gamma}=\text{常量}\\ V^{\gamma-1}T=\text{常量}\\ p^{\gamma-1}T^{-\gamma}=\text{常量} $$

注意三个常量并不相同。

循环过程

$$ \eta=\frac{W}{Q_1}=1-\frac{|Q_2|}{Q_1} $$

其中 $W$ 是对外做功，$Q_1$ 是吸收热量，$Q_2$ 是放出热量。

卡诺定理

对于可逆卡诺热机

$$ \eta=1-\frac{T_2}{T_1} $$

其中 $T_1$ 为高温热源温度，$T_2$ 为低温热源温度。

熵

$$ \Delta S=S_B-S_A=\int_A^B\frac{\mathrm{d}Q}{T} $$

理想气体熵变公式

$$ \Delta S=\nu C_{V,\mathrm{m}}\ln{\frac{T_2}{T_1}}+\nu R\ln{\frac{V_2}{V_1}} $$

玻耳兹曼关系式

$$ S=k\ln{W} $$

其中 $W$ 为热力学概率，是分子热运动的系统无序度的量度。

光学

可见光谱范围 360-400nm 到 760-830nm

光程差与相位差

$$ \Delta r=n_2L_2-n_1L_1 $$$$ \Delta\phi=\frac{2\pi\Delta r}{\lambda} $$

杨氏双缝干涉

波程差

$$ \Delta r=r_2-r_1\approx d\sin{\theta} $$

其中 $d$ 为双缝间的距离。

明条纹中心

$$ \Delta r=\pm k\lambda $$$$ x=\pm\frac{d'}{d}k\lambda $$

其中 $d'$ 为双缝与光屏间的距离，$k=0,1,2,\dots$。

暗条纹中心

$$ \Delta r=\pm\frac{2k+1}{2}\lambda $$$$ x=\pm\frac{d'}{d}\frac{2k+1}{2}\lambda $$

相邻明纹或暗纹中心间距

$$ \Delta x=\frac{d'}{d}\lambda $$

半波损失

光从折射率较小的介质射向折射率较大的介质时，反射光的相位较之入射光的相位跃变了 $\pi$，相当于附加了半个波长的波程差，称之为半波损失。

劈尖干涉

劈尖厚度为 $d$ 处的光程差

$$ \Delta =2nd+\frac{\lambda}{2} $$

其中 $n$ 为劈尖层介质的折射率。明暗条纹中心条件与双缝干涉类似。

相邻明纹或暗纹中心间距 $b$

$$ b\approx\frac{\lambda}{2n\theta} $$

牛顿环

与劈尖干涉类似，介质层厚度为 $d$ 处的光程差

$$ \Delta =2nd+\frac{\lambda}{2} $$

明环半径

$$ r=\sqrt{(k-\frac{1}{2})\frac{R\lambda}{n}} $$

其中 $R$ 为平凸透镜的曲率半径。

暗环半径

$$ r=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}} $$

菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射

菲涅耳衍射中，光源和光屏，与衍射孔之间的距离是有限的；反之，光源和光屏都移到无限远处，这种衍射叫做夫琅禾费衍射。

夫琅禾费单缝衍射

明条纹中心

$$ b\sin{\theta}=\pm\frac{2k+1}{2}\lambda $$$$ x=\pm\frac{2k+1}{2}\frac{\lambda f}{b} $$

其中 $b$ 为单缝宽度，$k=1,2,\dots$。

暗条纹中心

$$ b\sin{\theta}=\pm k\lambda $$$$ x=\pm k\frac{\lambda f}{b} $$

注意这里的明暗关系与双缝干涉正好相反，并且 $k$ 从 $1$ 开始取。

中央明纹宽度

$$ \Delta x_0=2x_1=\frac{2\lambda f}{b} $$

其中 $f$ 为透镜焦距。

其余相邻暗纹之间距离

$$ \Delta x=\frac{\lambda f}{b} $$

光学仪器的分辨本领

瑞利判据指出，当一个点光源的衍射图样的中央明纹与另一个点光源的衍射图样的第一级暗纹重合时，这两个点光源恰好可以被分辨。

对于夫琅禾费圆孔衍射，最小分辨角

$$ \theta_0=\frac{1.22\lambda}{D} $$

其中 $D$ 为圆孔直径。

对于夫琅禾费单缝衍射，最小分辨角

$$ \theta_0=\frac{\lambda}{b} $$

其中 $b$ 为单缝宽度。

衍射光栅

设光栅不透光的宽度为 $b'$，透光的宽度为 $b$，则光栅常量

$$ d=b+b' $$

明暗条纹中心条件与双缝干涉类似。注意光栅光谱中一般不包含中央明条纹。

当入射光线与光栅平面法线成角度 $i$ 时，明暗条纹中心条件变为

$$ d(\sin{\theta}+\sin{i})=\pm k\lambda $$$$ d(\sin{\theta}+\sin{i})=\pm\frac{2k+1}{2}\lambda $$

缺级

缺级条件

$$ \frac{b+b'}{b}=\frac{k}{k'} $$

例如，若 $\frac{b+b'}{b}=3$，则在 $k=3,6,9,\dots$ 处形成缺级。

马吕斯定律

从检偏器透出的光的振幅为

$$ E=E_0\cos{\alpha} $$

光强为

$$ I=I_0\cos^2{\alpha} $$

反射光和折射光的偏振

当光从折射率为 $n_1$ 的介质射入折射率为 $n_2$ 的介质中时，入射角 $i_B$ 满足

$$ \tan{i_B}=\frac{n_2}{n_1} $$

时，反射光为偏振光，只有垂直于入射面的光振动，$i_B$ 叫做起偏角或布儒斯特角。当入射角为起偏角时，反射光与折射光相互垂直。

双折射

对于某些晶体，当光线进入晶体后，一束入射光线可以有两束折射光，且都是线偏振光，寻常光线（o 光）和非常光线（e 光）。
当光线在晶体的某一表面入射时，此表面的法线与晶体的光轴所构成的平面叫做晶体的主截面，o 光的光振动垂直于主截面，e 光的光振动在主截面内。

几何光学

折射定律

$$ n_1\sin{i_1}=n_2\sin{i_2} $$

薄透镜的高斯公式

$$ \frac{f'}{p'}+\frac{f}{p}=1 $$

其中 $f,f'$ 分别为物方焦距和像方焦距，$p$ 为物距，$p'$ 为像距（注意正负关系）。

近代物理

黑体辐射

斯特藩-玻耳兹曼定律

$$ M(T)=\sigma T^4 $$

其中 $M(T)$ 为黑体的辐出度，是单位时间内从温度为 $T$ 的黑体的单位面积上，所辐射出的各种波长的电磁波的能量总和。

维恩位移定律

单色辐出度 $M_{\lambda}(T)$ 的峰值对应的波长 $\lambda_{\mathrm{m}}$ 与 $T$ 成反比

$$ \lambda_{\mathrm{m}}T=b $$

瑞利-金斯公式

$$ M_{\nu}(T)\mathrm{d}\nu=\frac{2\pi\nu^2}{c^2}kT\mathrm{d}\nu $$

维恩公式

$$ M_{\nu}(T)\mathrm{d}\nu=\frac{2\pi h\nu^3}{c^2}\frac{\mathrm{d}\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}} $$

普朗克黑体辐射公式

$$ M_{\nu}(T)\mathrm{d}\nu=\frac{2\pi h\nu^3}{c^2}\frac{\mathrm{d}\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $$

光电效应

遏止电势差 $U_0$

$$ E_{\mathrm{k},\max}=eU_0 $$

实验规律

对某一种金属来说，只有当入射光频率大于截止频率 $\nu_0$ 时，电子才能从金属表面逸出，电路中才有光电流；
用不同频率的光照射金属 $K$ 的表面时，只要入射光频率大于截止频率，遏止电势差与入射光频率具有线性关系；
随着加速电势差的增大，光电流趋于一个饱和值，且在入射光频率不变的情况下，饱和光电流与入射光强度成正比；
无论入射光强度如何，只要其频率大于截止频率，则当光照射到金属表面上时，几乎立即就有光电子逸出。

爱因斯坦方程

$$ h\nu=\frac{1}{2}mv^2+W $$

其中 $W$ 为逸出功。

截止频率 $\nu_0$

$$ \nu_0=\frac{W}{h} $$

康普顿效应

$$ h\nu_0+m_0c^2=h\nu+mc^2 $$$$ \Delta \lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_0c}(1-\cos{\theta})=\frac{2h}{m_0c}\sin^2{\frac{\theta}{2}} $$

其中 $\lambda_0$ 为入射光子的波长，$\lambda$ 为散射光子的波长。

氢原子的玻尔理论

氢原子光谱公式的一般形式

$$ \sigma=\frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^2}-\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^2}\right) $$

量子化条件

氢原子具有的能量

$$ E_n=\frac{E_1}{n^2} $$

其中 $E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$

电子轨道半径

$$ r_n=a_0n^2 $$

其中 $a_0$ 是电子的第一个（即 $n=1$）轨道的半径，叫做玻尔半径。

氢原子光谱线系

谱线系名称及发现年代	谱线波段	$n_\mathrm{f}$	$n_\mathrm{i}$	谱线公式
莱曼 (Lyman) 系, 1916	紫外线	1	2, 3, …	$\sigma = \frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$
巴耳末 (Balmer) 系, 1885	可见光	2	3, 4, …	$\sigma = \frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$
帕邢 (Paschen) 系, 1908	红外线	3	4, 5, …	$\sigma = \frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$
布拉开 (Brackett) 系, 1922	红外线	4	5, 6, …	$\sigma = \frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$
普丰德 (Pfund) 系, 1924	红外线	5	6, 7, …	$\sigma = \frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{5^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$
汉弗莱 (Humphreys) 系, 1953	红外线	6	7, 8, …	$\sigma = \frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{6^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$

德布罗意波

以动量 $p$ 运动的实物粒子的波的波长为

$$ \lambda=\frac{h}{p} $$

不确定关系

$$ \Delta x\Delta p_x\geq\frac{h}{4\pi} $$

量子力学

薛定谔方程

势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程

$$ \frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-E_{\mathrm{p}})\psi(x)=0 $$

一般的定态薛定谔方程

$$ \mathbf{\nabla}^2\psi+\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-E_{\mathrm{p}})\psi=0 $$

径向波函数和分布概率

若令径向概率密度为 $p(r)$，则电子出现在距核为 $r$~$r+\mathrm{d}r$ 范围内的概率为

$$ p\mathrm{d}r=|R|^2r^2\mathrm{d}r $$

其中 $R(r)$ 是波函数 $\psi$ 在径向部分的分量。

一维势阱问题

无限深方势阱

势阱中粒子可能的能量值为

$$ E=n^2\frac{h^2}{8ma^2} $$

其中 $a$ 为无限深方势阱的宽度。

波函数

$$ \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x} $$

概率密度

$$ |\psi^2(x)|=\frac{2}{a}\sin^2{\frac{n\pi}{a}x} $$

一维方势垒

一维线性谐振子势函数

$$ E_{\mathrm{p}}(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 $$

其中 $m$ 为振子质量，$\omega$ 为固有频率；

能量本征值

$$ E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu $$

其中 $\hbar$ 为约化普朗克常量

四个量子数

主量子数 $n$：决定电子能级、电子云平均距离；$n=1$ 时，氢原子能量处于最小允许值的定态，称氢原子处于基态；$n=2,3,\dots$ 时，氢原子处于激发态
角量子数 $l$：决定电子云形状、轨道角动量；$l$ 的可能值为 $0,1,2,\dots,(n-1)$
氢原子中电子的角动量 $L$ 为
$$ L=\sqrt{l(l+1)}\frac{h}{2\pi}=\sqrt{l(l+1)}\hbar $$
磁量子数 $m_l$：决定轨道角动量空间取向；$m_l$ 的可能值为 $0,\pm 1,\pm 2,\dots,\pm l$
角动量在 $z$ 轴上的分量 $L_z$ 为
$$ L_z=m_l\hbar $$
自旋磁量子数 $m_s$：决定电子自旋状态方向；$m_s$ 的可能值为 $\pm\frac{1}{2}$
自旋角动量
$$ S=\sqrt{s(s+1)}\frac{h}{2\pi} $$
其中 $s=\frac{1}{2}$。自旋角动量在 $z$ 轴上的分量
$$ S_z=m_s\frac{h}{2\pi} $$

多电子原子中的电子分布

泡利不相容原理：在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态；
能量最小原理：在原子系统内，每个电子趋向于占有最低的能级，当原子中电子的能量最小时，整个原子的能量最小，这时原子处于最稳定的状态，即基态。

重要推导

理想气体压强公式

考虑一个边长为 $L$ 的立方体容器，内含 $N$ 个理想气体分子。假设一个速度为 $v$ 的分子，速度分量为 $(v_x,v_y,v_z)$，考虑该分子与垂直于 $x$ 轴的一个器壁的碰撞，碰撞前后动量变化量为

$$ \Delta p=2mv_x $$

该分子在 $x$ 方向来回碰撞一次所需时间为

$$ \Delta t=\frac{2L}{v_x} $$

对器壁的平均冲力为

$$ F_x=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{L} $$

所有 $N$ 个分子对该器壁的总冲力为

$$ F=\sum F_x=\frac{m}{L}\sum v_x^2 $$

定义分子速度平方的平均值为

$$ \overline{v_x^2}=\frac{1}{N}\sum v_x^2 $$

总冲力可以写成

$$ F=\sum F_x=\frac{m}{L}N\overline{v_x^2} $$

代入压强公式

$$ p=\frac{F}{L^2}=\frac{m}{L^3}N\overline{v_x^2}=\frac{m}{V}N\overline{v_x^2}=mn\overline{v_x^2} $$

考虑速度的各向同性

$$ \overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2} $$

代入得

$$ p=\frac{1}{3}mn\overline{v^2} $$

平均碰撞频率和平均自由程

分子被视为具有直径 $d$ 的硬球，在时间 $t$ 内，分子 $A$ 扫过的体积为 $\pi d^2\overline{v}t$，在该体积内的分子都会与其发生碰撞，其他分子的平均数量为 $n\pi d^2\overline{v}t$，实际上，其他分子也在运动。需要考虑平均相对速度

$$ v_{\mathrm{rel}}=\sqrt{2}\overline{v} $$

在时间 $t$ 内，分子 $A$ 与其他分子碰撞的次数为 $\sqrt{2}n\pi d^2\overline{v}t$，即

$$ \overline{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\overline{v}n $$$$ \overline{\lambda}=\frac{\overline{v}}{\overline{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n} $$

绝热过程方程

绝热过程 $\mathrm{d}Q=0$，因此

$$ 0=\mathrm{d}E+\mathrm{d}W=\nu C_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T+p\mathrm{d}V $$

由 $pV=\nu RT$ 可得

$$ p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=\nu R\mathrm{d}T $$

消去 $\mathrm{d}T$ 得到

$$ C_{V,\mathrm{m}}(p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p)=-pR\mathrm{d}V $$

由 $R=C_{p,\mathrm{m}}-C_{V,\mathrm{m}},\gamma=\frac{C_{p,\mathrm{m}}}{C_{V,\mathrm{m}}}$ 可解得

$$ C_{V,\mathrm{m}}=\frac{R}{\gamma-1} $$

代入可得

$$ \gamma p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=0 $$

即

$$ \gamma\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{p} $$

解得

$$ \gamma\ln{V}+\ln{p}=\text{常量} $$

即

$$ pV^{\gamma}=\text{常量} $$

卡诺循环效率

设 $T_1$ 为高温热源温度，$T_2$ 为低温热源温度。

$AB$ 等温膨胀

$$ W_1=Q_1=\nu RT_1\ln{\frac{V_2}{V_1}} $$

$BC$ 绝热膨胀

$$ W_2=\nu C_{V,\mathrm{m}}(T_1-T_2) $$

$CD$ 等温压缩

$$ W_3=Q_2=-\nu RT_2\ln{\frac{V_3}{V_4}} $$

$DA$ 绝热压缩

$$ W_4=-\nu C_{V,\mathrm{m}}(T_1-T_2) $$

由绝热方程

$$ T_1V_2^{\gamma-1}=T_2V_3^{\gamma-1}\\ T_1V_1^{\gamma-1}=T_2V_4^{\gamma-1} $$

联立解得

$$ \frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4} $$

即

$$ \frac{Q_1}{|Q_2|}=\frac{T_1}{T_2} $$

带入效率公式

$$ \eta=1-\frac{T_2}{T_1} $$

热力学第二定律的两种等效性表述

开尔文表述（Kelvin Statement）：不可能制成一种循环工作的热机，只从单一热源吸收热量，并将这热量完全变为功，而不产生其它影响。
克劳修斯表述（Clausius Statement）：不可能把热量从低温物体传到高温物体，而不引起其它变化。

假设我们有一台设备（称为“反克劳修斯机”），它可以违反克劳修斯表述，即可以将热量自发地从低温热源（温度 $T_L$）转移到高温热源（温度 $T_H$），而不引起其他变化。

现在，我们将这台“反克劳修斯机”与一台工作在 $T_H$ 和 $T_L$ 之间的卡诺热机（或其他任何循环工作的热机）组合起来。

卡诺热机从高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q_1$，对外做功 $W$，并向低温热源 $T_L$ 释放热量 $Q_2$。
“反克劳修斯机”将热量 $Q_2$ 从低温热源 $T_L$ 转移到高温热源 $T_H$，不引起其他变化。

这样，整个联合系统就构成了一个循环：

从高温热源 $T_H$ 净吸收热量 $Q_1 - Q_2$。
对外做功 $W = Q_1 - Q_2$。
低温热源 $T_L$ 没有净热量交换。

这个联合系统只从单一高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q_1 - Q_2$，并将其完全转化为功 $W$，而没有产生其他影响。这违反了开尔文表述。

因此，如果违反克劳修斯表述，则必然违反开尔文表述。

同理，假设我们有一台设备（称为“反开尔文机”），它可以违反开尔文表述，即可以只从单一热源（假设为高温热源 $T_H$）吸收热量 $Q$，并将其完全转化为功 $W$，而不产生其他影响。

现在，我们将这台“反开尔文机”与一台工作在 $T_H$ 和 $T_L$ 之间的卡诺热机（或其他任何循环工作的热机）组合起来，但这次我们让卡诺热机逆向运行，即作为制冷机运行。

“反开尔文机”从高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q$，并将其完全转化为功 $W$。
卡诺制冷机消耗功 $W$，从低温热源 $T_L$ 吸收热量 $Q_2$，并向高温热源 $T_H$ 释放热量 $Q_1 = Q_2 + W$。

这样，整个联合系统就构成了一个循环：

高温热源 $T_H$ 净释放热量 $Q_1 - Q = Q_2 + W - Q = Q_2$（因为 $W = Q$）。
低温热源 $T_L$ 净吸收热量 $Q_2$。
系统没有对外做功，也没有消耗功。

这个联合系统没有消耗功，就将热量 $Q_2$ 从低温热源 $T_L$ 转移到了高温热源 $T_H$，而没有引起其他变化。这违反了克劳修斯表述。

因此，如果违反开尔文表述，则必然违反克劳修斯表述。

从而证明了两种表述的等价性。

薄膜干涉光程差

由于内容较简单且需要画图进行几何推导，请自行查阅教材。

$$ \Delta_r=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{i}}+\frac{\lambda}{2} $$

其中 $n_1$ 为均匀介质折射率，$n_2$ 为薄膜折射率，$n_2\geq n_1$，$d$ 为薄膜厚度，$i$ 为入射角。

一维无限深方势阱

粒子在势阱中 $E_{\mathrm{p}}=0$，定态薛定谔方程为

$$ \frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+\frac{8\pi^2mE}{h^2}\psi(x)=0 $$

令

$$ k=\sqrt{\frac{8\pi^2mE}{h^2}} $$

则上式可写成

$$ \frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+k^2\psi(x)=0 $$

通解为

$$ \psi(x)=A\sin{kx}+B\cos{kx} $$

波函数必须满足边界条件 $\psi(0)=0$，解得 $B=0$

$$ \psi(x)=A\sin{kx} $$

由边界条件 $\psi(a)=0$，得

$$ ka=n\pi $$$$ k=\frac{n\pi}{a} $$

联立可解得

$$ E=n^2\frac{h^2}{8ma^2} $$

由归一化条件可得

$$ A^2\int_0^a\sin^2{\frac{n\pi}{a}x}\ \mathrm{d}x=1 $$

解得

$$ A=\sqrt{\frac{2}{a}} $$

于是

$$ \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x} $$